Parameterabhängige dünne Überdeckungen konvexer Körper

Abstract

Die Arbeit beschäftigt sich mit Überdeckungen durch Translate eines zentralsymmetrischen, konvexen Korpers K im d -dimensionalen Euklidischen Raum E d . Eine Punktmenge C n ⊂ E d mit n Elementen heißt Überdeckungskonfiguration bzgl. K , falls conv C n ⊂ C n + K gilt. Bezüglich der parametrischen Dichte ϑ ( K, C n , ρ ) = n ⋅ V ( K )/ V (conv C n + ρK ) werden hier optimale (dünnste) Überdeckungskonfigurationen untersucht, also solche Konfigurationen, in denen ϑ ( K, C n , ρ ) minimal wird. In der Euklidischen Ebene zeigt sich zunächst, dass für kleine Parameter ρ die optimalen Konfigurationen volldimensional sind, während man für hinreichend große Parameter nahezu eindimensionale Anordnungen erhält. Die letzte Aussage läßt sich für strikt konvexe Korper auf beliebige Dimensionen d ≥ 2 erweitern. Die dabei betrachteten optimalen, "fast" eindimensionalen Konfigurationen nennt man Knochenkonfigurationen. Sie werden hier ausführlich behandelt. Desweiteren beschäftigt sich die Arbeit mit gitterformigen Überdeckungen. Dabei werden nur Konfigurationen zugelassen, die zu einem Überdeckungsgitter von K gehoren. Für strikt konvexe Korper K lassen sich in der Ebene für alle Parameter ρ die dünnsten Anordnungen bestimmen. Dabei erweisen sich in Abhängigkeit von ρ eindimensionale Konfigurationen, sogenannte Doppelwürste oder volldimensionale Konfigurationen als optimal. Schließlich werden für die d -dimensionale Einheitskugel ( d ≥ 2) die Überdeckungsgitter charakterisiert, für die für große Parameter die optimalen Anordnungen eindimensional sind.

The work deals with coverings of translates of centrally symmetric convex bodies in the d -dimensional euclidean space E d . A pointset C n ⊂ E d with n elements is called covering configuration (arrangement) with respect to K if conv C n ⊂ C n + K . With respect to the parametric density ϑ ( K, C n , ρ ) = n ⋅ V ( K )/ V (conv C n + ρK ) optimal (thin) covering configurations are considered, i.e. configurations with minimal density. In the euclidean plane such optimal configurations are fulldimensional for small parameter ρ , while large parameter lead to nearly one dimensional arrangements. For strictly convex bodies the last statement can be extended to arbitrary dimensions d ≥ 2. Those nearly one dimensional optimal configurations are called bones and will be treated detailed. Finally the last chapter deals with covering arrangements which belong to lattice coverings with respect to K . In this case for d = 2 and strictly convex K the optimal configurations can be characterized for all parameter ρ . They are either one dimensional, socalled doublesausages or fulldimensional, depending on the parameter. In the end for the euclidean d -ball the lattices are characterized, for which the optimal arrangement is one dimensional, for large parameter.