Dirichlet forms on non self-similar sets : Hanoi attractors and the Sierpiński gasket

Abstract

Diese Arbeit behandelt eine Klasse nicht sebstähnlicher Fraktale, die sogenannten Hanoi-Attraktoren zum Parameter alpha. Die analytischen und geometrischen Zusammenhänge zwischen den Hanoi-Attraktoren und dem Sierpinski-Dreieck, einem der bekanntesten selbstähnlichen Fraktale, werden untersucht. Der erste Teil der Arbeit betrachtet das Problem von einem geometrischen Standpunkt: Für jedes alpha aus dem Intervall (0,1/3) konstruieren wir den Hanoi-Attraktor und beweisen, dass die Folge vom Attraktoren in der Hausdorff-Metrik gegen das Sierpinski-Dreieck konvergiert wenn alpha gegen null geht. Darüberhinaus beweisen wir auch die Konvergenz der Hausdorff Dimension für alpha gegen null. Der zweite Teil der Dissertation befasst sich mit der Konstruktion einer Analysis auf Hanoi-Attraktoren. Zu diesem Zweck konstruieren wir eine "resistance form" auf dem Attraktor und definieren ein geeignetes Radon-Maß. Dadurch erhalten wir eine lokale und reguläre Dirichletform auf dem zugehörigen L2-Raum. Diese Form definiert einen Laplace-Operator, dessen spektrale Eigenschaften wir untersuchen. Die Untersuchung des asymptotischen Verhaltens der Eigenwertzählfunktion des Laplace-Operators dient dazu, die spektrale Dimension von Hanoi-Attraktoren bestimmen zu können. Für alle alpha aus (0, 1/3) stimmt sie mit der spektralen Dimension des Sierpinski-Dreiecks überein.

In this thesis we study a class of non self-similar fractals, the so-called Hanoi attractors of parameter alpha. We investigate the geometric and analytic relationships between the Hanoi attractors and the Sierpinski gasket, which is one of the most studied self-similar fractals. The first part of the thesis treats the problem from a geometric point of view: For each alpha in (0, 1/3) we construct the Hanoi attractor and prove that the sequence of attractors converges to the Sierpinski gasket in the Hausdorff metric as alpha tends to zero. Moreover, we prove convergence of the Hausdorff dimension as alpha tends to zero. The second part of the thesis deals with the construction of an analysis on Hanoi attractors. To this end, we introduce an appropriate resistance form on the attractor, choose a suitable Radon measure and obtain a local and regular Dirichlet form that acts on the associated L2-space. This form defines a Laplacian on the Hanoi attractor, whose spectral properties we then investigate. The study of the asymptotic behaviour of the eigenvalue counting function of this Laplacian allows us to calculate the spectral dimension of the Hanoi attractor, which turns out to coincide with the one of the Sierpinski gasket for all alpha in (0, 1/3).